rode en witte wijn

Raadsel:

Gegeven twee glazen gevuld met gelijk volume: de een met rode wijn, de andere met witte wijn. Neem een theelepel van de rode wijn en roer dat door de witte wijn. Neem vervolgens een theelepel van het mengsel en roer dat door de rode wijn. Welk van de twee glazen bevat nu de ‘puurste wijn’ (oftewel: het grootste volume-aandeel van de oorspronkelijke kleur)?

De eerste reflex van een wiskundige is extreme gevallen beschouwen: een heel groot of een heel klein theelepeltje. In het eerste geval wordt alle rode wijn door de witte wijn geroerd, en wordt de helft van het homogene mengsel teruggegooid. In het tweede geval bevat het theelepeltje niets en gebeurt er ook niets. In beide gevallen is het antwoord: de glazen bevatten even pure wijn.

Als het duidelijk zou zijn dat de grootte van het theelepeltje niet uitmaakt ben je nu klaar, maar mij is dat niet direct duidelijk. Nu volgen drie bewijzen die aantonen dat dit het geval is, van complex naar eenvoudig, hetgeen ook de volgorde is waarin ik ze heb bedacht.

BEWIJS 1.

Noem de glazen Glas_x en Glas_y en het volume van een theelepeltje z. De glazen bevatten 1 volume-eenheid, dus 0\leq z\leq 1.

t0.

Glas_x bevat rood-volume 1 en wit-volume 0.
Glas_y bevat rood-volume 0 en wit-volume 1.

t1.

Glas_x bevat rood-volume 1-z en wit-volume 0.
Glas_y bevat rood-volume z en wit-volume 1; met andere woorden wit-fractie  \frac{1}{1+z} en rood-fractie  \frac{z}{1+z}.

Een theelepeltje van het mengsel uit Glas_y bevat z volume met dezelfde verhouding, dus wit-volume  \frac{z}{1+z} en rood-volume  \frac{z^2}{1+z}.

t2.

Glas_y bevat 1 volume met onveranderde verhouding.
Glas_x bevat 1 volume waarvan het rood-volume (en dus de rood-fractie) gelijk is aan
 (1-z)+\frac{z^2}{1+z} = \frac{(1+z)(1-z)+z^2}{1+z} = \frac{1}{1+z}

hetgeen gelijk is aan de wit-fractie (en dus het wit-volume) in Glas_y.

BEWIJS 2.

Met goed gekozen notatie wordt de symmetrie helderder. Laten we de kleur-dimensie (R of W) links, en de glas-dimensie (x of y) rechts schrijven, zodat \langle R|x\rangle het rood-volume in Glas_x in de eindsituatie betekent.

Van beide kleuren wijn is volume 1 aanwezig, dus:
1=\langle R|x\rangle+\langle R|y\rangle
1=\langle W|x\rangle+\langle W|y\rangle
Beide glazen bevatten volume 1, dus:
1=\langle R|x\rangle+\langle W|x\rangle
1=\langle R|y\rangle+\langle W|y\rangle
Hieruit volgt direct
0=\langle W|x\rangle-\langle R|y\rangle
oftewel het wit-volume in Glas_x is gelijk aan het rood-volume in Glas_y.

Nog compacter geschreven:

– “behoud van volume per kleur” 1=\langle \ \cdot\ |x+y\rangle
– “behoud van volume per glas” 1=\langle R+W|\ \cdot\ \rangle
impliceert
\langle W|x\rangle=\langle R|y\rangle.

BEWIJS 3.

Nog inzichtelijker is het perspectief van het theelepeltje. Aangezien de glazen onveranderd volume hebben (volume 1 in begin- en eindsituatie), hebben het wit-volume op t2 in Glas_x enerzijds, en het rood-volume op t2 in Glas_y anderzijds, stuivertje gewisseld.

Om precies te zijn, schrijf r_i, w_i voor het rood-, respectievelijk witvolume van het theelepeltje op het moment direct voor tijdstip t_i.
Het uiteindelijke witvolume van Glas_x is
w_2-w_1
Het uiteindelijke roodvolume van Glas_y is
r_1-r_2.
Het theelepeltje heeft volume z, dus
r_1+w_1=z=r_2+w_2
en we hebben een derde bewijs.


About this entry